算法模板（提高级）
基础算法
快速排序算法
void quick_sort(int q[], int l, int r) {
if (l >= r) return;
int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
while (i < j) {
do i ++ ; while (q[i] < x);
do j -- ; while (q[j] > x);
if (i < j) swap(q[i], q[j]);
}
quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}
归并排序算法
void merge_sort(int q[], int l, int r) {
if (l >= r) return;
int mid = l + r >> 1;
merge_sort(q, l, mid);
merge_sort(q, mid + 1, r);
int k = 0, i = l, j = mid + 1;
while (i <= mid && j <= r) {
if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
else tmp[k++] = q[j++];
}
while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
while (j <= r) tmp[k++] = q[j++];
for (i = l, j = 0; i <= r; i++, j++ ) q[i] = tmp[j];
}
整数二分算法
bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r) {
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质
else l = mid + 1;
}
return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r) {
while (l < r) {
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
浮点数二分算法
bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
double bsearch_3(double l, double r) {
const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
while (r - l > eps) {
double mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid;
}
return l;
}
高精度加法
// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) {
if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
vector<int> C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size(); i ++ ) {
t += A[i];
if (i < B.size()) t += B[i];
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
if (t) C.push_back(t);
return C;
}
高精度减法
// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B) {
vector<int> C;
for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ ) {
t = A[i] - t;
if (i < B.size()) t -= B[i];
C.push_back((t + 10) % 10);
if (t < 0) t = 1;
else t = 0;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
高精度乘低精度
// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b) {
vector<int> C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ ) {
if (i < A.size()) t += A[i] * b;
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
高精度除以低精度
// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r) {
vector<int> C;
r = 0;
for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- ) {
r = r * 10 + A[i];
C.push_back(r / b);
r %= b;
}
reverse(C.begin(), C.end());
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
一维前缀和
\(S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]\)
\(a[l] + \cdots + a[r] = S[r] - S[l - 1]\)
二维前缀和
\(S[i, j] =\) 第 \(i\) 行 \(j\) 列格子左上部分所有元素的和
以 \((x1, y1)\) 为左上角，\((x2, y2)\) 为右下角的子矩阵的和为：
\(S[x2][y2] - S[x1 - 1][y2] - S[x2][y1 - 1] + S[x1 - 1][y1 - 1]\)
一维差分
给区间 \([l, r]\) 中的每个数加上 \(c\)：B[l] += c, B[r + 1] -= c
二维差分
给以 \((x1, y1)\) 为左上角，\((x2, y2)\) 为右下角的子矩阵中的所有元素加上 \(c\)：
S[x1][y1] += c, S[x2 + 1][y1] -= c
S[x1][y2 + 1] -= c, S[x2 + 1][y2 + 1] += c
位运算
求 \(n\) 的第 \(k\) 位数字: n >> k & 1
返回 \(n\) 的最后一位1：\(lowbit(n) = n \& -n\)
双指针算法
for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ ) {
while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
// 具体问题的逻辑
}
/**
常见问题分类：
(1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
(2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作
*/
离散化
vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素
// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) { // 找到第一个大于等于x的位置
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}
区间合并
// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector<PII> &segs) {
vector<PII> res;
sort(segs.begin(), segs.end());
int st = -2e9, ed = -2e9;
for (auto seg : segs)
if (ed < seg.first) {
if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
st = seg.first, ed = seg.second;
}
else ed = max(ed, seg.second);
if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
segs = res;
}
数据结构
单链表
// head存储链表头，e[]存储节点的值，ne[]存储节点的next指针，idx表示当前用到了哪个节点
int head, e[N], ne[N], idx;
// 初始化
void init() {
head = -1;
idx = 0;
}
// 在链表头插入一个数a
void insert(int a) {
e[idx] = a, ne[idx] = head, head = idx++;
}
// 将头结点删除，需要保证头结点存在
void remove() {
head = ne[head];
}
双链表
// e[]表示节点的值，l[]表示节点的左指针，r[]表示节点的右指针，idx表示当前用到了哪个节点
int e[N], l[N], r[N], idx;
// 初始化
void init() {
//0是左端点，1是右端点
r[0] = 1, l[1] = 0;
idx = 2;
}
// 在节点a的右边插入一个数x
void insert(int a, int x) {
e[idx] = x;
l[idx] = a, r[idx] = r[a];
l[r[a]] = idx, r[a] = idx++;
}
// 删除节点a
void remove(int a) {
l[r[a]] = l[a];
r[l[a]] = r[a];
}
栈
// tt表示栈顶
int stk[N], tt = 0;
// 向栈顶插入一个数
stk[ ++ tt] = x;
// 从栈顶弹出一个数
tt--;
// 栈顶的值
stk[tt];
// 判断栈是否为空
if (tt > 0) {
}
普通队列
// hh 表示队头，tt表示队尾
int q[N], hh = 0, tt = -1;
// 向队尾插入一个数
q[++tt] = x;
// 从队头弹出一个数
hh++ ;
// 队头的值
q[hh];
// 判断队列是否为空
if (hh <= tt) {
}
循环队列
// hh 表示队头，tt表示队尾的后一个位置
int q[N], hh = 0, tt = 0;
// 向队尾插入一个数
q[tt++] = x;
if (tt == N) tt = 0;
// 从队头弹出一个数
hh++ ;
if (hh == N) hh = 0;
// 队头的值
q[hh];
// 判断队列是否为空
if (hh != tt) {
}
单调栈
//常见模型：找出每个数左边离它最近的比它大/小的数
int tt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
while (tt && check(stk[tt], i)) tt--;
stk[++tt] = i;
}
单调队列
//常见模型：找出滑动窗口中的最大值/最小值
int hh = 0, tt = -1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
while (hh <= tt && check_out(q[hh])) hh++; // 判断队头是否滑出窗口
while (hh <= tt && check(q[tt], i)) tt--;
q[ ++ tt] = i;
}
KMP
// s[]是长文本，p[]是模式串，n是s的长度，m是p的长度
// 求模式串的Next数组：
for (int i = 2, j = 0; i <= m; i ++ ) {
while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
if (p[i] == p[j + 1]) j ++ ;
ne[i] = j;
}
// 匹配
for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) {
while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
if (s[i] == p[j+1]) j++ ;
if (j == m) {
j = ne[j];
// 匹配成功后的逻辑
}
}
Trie 树
int son[N][26], cnt[N], idx;
// 0号点既是根节点，又是空节点
// son[][]存储树中每个节点的子节点
// cnt[]存储以每个节点结尾的单词数量
// 插入一个字符串
void insert(char *str) {
int p = 0;
for (int i = 0; str[i]; i++) {
int u = str[i] - 'a';
if (!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;
p = son[p][u];
}
cnt[p]++;
}
// 查询字符串出现的次数
int query(char *str) {
int p = 0;
for (int i = 0; str[i]; i++) {
int u = str[i] - 'a';
if (!son[p][u]) return 0;
p = son[p][u];
}
return cnt[p];
}
并查集
(1)朴素并查集：
int p[N]; //存储每个点的祖宗节点
// 返回x的祖宗节点
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
// 初始化，假定节点编号是1~n
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
// 合并a和b所在的两个集合：
p[find(a)] = find(b);
(2)维护size的并查集：
int p[N], size[N];
//p[]存储每个点的祖宗节点, size[]只有祖宗节点的有意义，表示祖宗节点所在集合中的点的数量
// 返回x的祖宗节点
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
// 初始化，假定节点编号是1~n
for (int i = 1; i <= n; i++) {
p[i] = i;
size[i] = 1;
}
// 合并a和b所在的两个集合：
size[find(b)] += size[find(a)];
p[find(a)] = find(b);
(3)维护到祖宗节点距离的并查集：
int p[N], d[N];
//p[]存储每个点的祖宗节点, d[x]存储x到p[x]的距离
// 返回x的祖宗节点
int find(int x) {
if (p[x] != x) {
int u = find(p[x]);
d[x] += d[p[x]];
p[x] = u;
}
return p[x];
}
// 初始化，假定节点编号是1~n
for (int i = 1; i <= n; i++) {
p[i] = i;
d[i] = 0;
}
// 合并a和b所在的两个集合：
p[find(a)] = find(b);
d[find(a)] = distance; // 根据具体问题，初始化find(a)的偏移量
堆
// h[N]存储堆中的值, h[1]是堆顶，x的左儿子是2x, 右儿子是2x + 1
// ph[k]存储第k个插入的点在堆中的位置
// hp[k]存储堆中下标是k的点是第几个插入的
int h[N], ph[N], hp[N], size;
// 交换两个点，及其映射关系
void heap_swap(int a, int b) {
swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
swap(hp[a], hp[b]);
swap(h[a], h[b]);
}
void down(int u) {
int t = u;
if (u * 2 <= size && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
if (u != t) {
heap_swap(u, t);
down(t);
}
}
void up(int u) {
while (u / 2 && h[u] < h[u / 2]) {
heap_swap(u, u / 2);
u >>= 1;
}
}
// O(n)建堆
for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);
一般哈希
(1) 拉链法
int h[N], e[N], ne[N], idx;
// 向哈希表中插入一个数
void insert(int x) {
int k = (x % N + N) % N;
e[idx] = x;
ne[idx] = h[k];
h[k] = idx ++ ;
}
// 在哈希表中查询某个数是否存在
bool find(int x) {
int k = (x % N + N) % N;
for (int i = h[k]; i != -1; i = ne[i])
if (e[i] == x)
return true;
return false;
}
(2) 开放寻址法
int h[N];
// 如果x在哈希表中，返回x的下标；如果x不在哈希表中，返回x应该插入的位置
int find(int x) {
int t = (x % N + N) % N;
while (h[t] != null && h[t] != x) {
t ++ ;
if (t == N) t = 0;
}
return t;
}
字符串哈希
//核心思想：将字符串看成P进制数，P的经验值是131或13331，取这两个值的冲突概率低
//小技巧：取模的数用2^64，这样直接用unsigned long long存储，溢出的结果就是取模的结果
typedef unsigned long long ULL;
ULL h[N], p[N]; // h[k]存储字符串前k个字母的哈希值, p[k]存储 P^k mod 2^64
// 初始化
p[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
h[i] = h[i - 1] * P + str[i];
p[i] = p[i - 1] * P;
}
// 计算子串 str[l ~ r] 的哈希值
ULL get(int l, int r) {
return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}
C++ STL 简介
vector, 变长数组，倍增的思想
size() 返回元素个数
empty() 返回是否为空
clear() 清空
front()/back()
push_back()/pop_back()
begin()/end()
[]
支持比较运算，按字典序
pair<int, int>
first, 第一个元素
second, 第二个元素
支持比较运算，以first为第一关键字，以second为第二关键字（字典序）
string，字符串
size()/length() 返回字符串长度
empty()
clear()
substr(起始下标，(子串长度)) 返回子串
c_str() 返回字符串所在字符数组的起始地址
queue, 队列
size()
empty()
push() 向队尾插入一个元素
front() 返回队头元素
back() 返回队尾元素
pop() 弹出队头元素
priority_queue, 优先队列，默认是大根堆
size()
empty()
push() 插入一个元素
top() 返回堆顶元素
pop() 弹出堆顶元素
定义成小根堆的方式：priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;
stack, 栈
size()
empty()
push() 向栈顶插入一个元素
top() 返回栈顶元素
pop() 弹出栈顶元素
deque, 双端队列
size()
empty()
clear()
front()/back()
push_back()/pop_back()
push_front()/pop_front()
begin()/end()
[]
set, map, multiset, multimap, 基于平衡二叉树（红黑树），动态维护有序序列
size()
empty()
clear()
begin()/end()
++, -- 返回前驱和后继，时间复杂度 O(logn)
set/multiset
insert() 插入一个数
find() 查找一个数
count() 返回某一个数的个数
erase()
(1) 输入是一个数x，删除所有x O(k + logn)
(2) 输入一个迭代器，删除这个迭代器
lower_bound()/upper_bound()
lower_bound(x) 返回大于等于x的最小的数的迭代器
upper_bound(x) 返回大于x的最小的数的迭代器
map/multimap
insert() 插入的数是一个pair
erase() 输入的参数是pair或者迭代器
find()
[] 注意multimap不支持此操作。 时间复杂度是 O(logn)
lower_bound()/upper_bound()
unordered_set, unordered_map, unordered_multiset, unordered_multimap, 哈希表
和上面类似，增删改查的时间复杂度是 O(1)
不支持 lower_bound()/upper_bound()， 迭代器的++，--
bitset, 压位
bitset<10000> s;
~, &, |, ^
>>, <<
==, !=
[]
count() 返回有多少个1
any() 判断是否至少有一个1
none() 判断是否全为0
set() 把所有位置成1
set(k, v) 将第k位变成v
reset() 把所有位变成0
flip() 等价于~
flip(k) 把第k位取反
搜索与图论
树与图的存储
树是一种特殊的图，与图的存储方式相同。
对于无向图中的边 \(a,b\)，存储两条有向边\(a{\rightarrow}b\), \(b{\rightarrow}a\)。
因此我们可以只考虑有向图的存储。
(1) 邻接矩阵：\(g[a][b]\) 存储边\(a{\rightarrow}b\)
(2) 邻接表：
// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点
int h[N], e[N], ne[N], idx;
// 添加一条边a->b
void add(int a, int b) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
// 初始化
idx = 0;
memset(h, -1, sizeof h);
树与图的遍历
时间复杂度 \(O(n+m)\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
(1) 深度优先遍历
int dfs(int u) {
st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (!st[j]) dfs(j);
}
}
(2) 宽度优先遍历
queue<int> q;
st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过
q.push(1);
while (q.size()) {
int t = q.front();
q.pop();
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (!st[j]) {
st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过
q.push(j);
}
}
}
拓扑排序
时间复杂度 \(O(n+m)\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
bool topsort() {
int hh = 0, tt = -1;
// d[i] 存储点i的入度
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (!d[i])
q[ ++ tt] = i;
while (hh <= tt) {
int t = q[hh++];
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (--d[j] == 0) q[++tt] = j;
}
}
// 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
return tt == n - 1;
}
朴素dijkstra算法
时间复杂是 \(O(n^2+m)O\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
int g[N][N]; // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定
// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra() {
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
int t = -1; // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
// 用t更新其他点的距离
for (int j = 1; j <= n; j++)
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
st[t] = true;
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
堆优化版dijkstra
时间复杂度 \(O(mlogn)\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
typedef pair<int, int> PII;
// 点的数量
int n;
// 邻接表存储所有边
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
// 存储所有点到1号点的距离
int dist[N];
// 存储每个点的最短距离是否已确定
bool st[N];
// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra() {
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
// first存储距离，second存储节点编号
heap.push({0, 1});
while (heap.size()) {
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (dist[j] > distance + w[i]) {
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({dist[j], j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
Bellman-Ford算法
时间复杂度 \(O(nm)\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
// n表示点数，m表示边数
int n, m;
// dist[x]存储1到x的最短路距离
int dist[N];
// 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
struct Edge {
int a, b, w;
} edges[M];
// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford() {
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
// 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，
// 由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
for (int j = 0; j < m; j ++ ) {
int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
if (dist[b] > dist[a] + w)
dist[b] = dist[a] + w;
}
}
if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
return dist[n];
}
spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法）
时间复杂度：平均情况下 \(O(m)\)，最坏情况下 \(O(nm)\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
// 总点数
int n;
// 邻接表存储所有边
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
// 存储每个点到1号点的最短距离
int dist[N];
// 存储每个点是否在队列中
bool st[N];
// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa() {
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
queue<int> q;
q.push(1);
st[1] = true;
while (q.size()) {
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
dist[j] = dist[t] + w[i];
// 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
if (!st[j]) {
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
spfa判断图中是否存在负环
时间复杂度是 \(O(nm)\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
// 总点数
int n;
// 邻接表存储所有边
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
// dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
int dist[N], cnt[N];
// 存储每个点是否在队列中
bool st[N];
// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。
bool spfa() {
// 不需要初始化dist数组
// 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，
//由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size()) {
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
// 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环
if (cnt[j] >= n) return true;
if (!st[j]) {
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
floyd算法
时间复杂度是 \(O(n^3)\), \(n\) 表示点数
// 初始化：
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
for (int j = 1; j <= n; j ++ ) {
if (i == j) d[i][j] = 0;
else d[i][j] = INF;
}
}
// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd() {
for (int k = 1; k <= n; k ++ )
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
朴素版prim算法
时间复杂度是 \(O(n^2+m)\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
// n表示点数
int n;
// 邻接矩阵，存储所有边
int g[N][N];
// 存储其他点到当前最小生成树的距离
int dist[N];
// 存储每个点是否已经在生成树中
bool st[N];
// 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim() {
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
if (i && dist[t] == INF) return INF;
if (i) res += dist[t];
st[t] = true;
for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
}
return res;
}
Kruskal算法
时间复杂度是 \(O(mlogm)\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
// n是点数，m是边数
int n, m;
// 并查集的父节点数组
int p[N];
// 存储边
struct Edge {
int a, b, w;
bool operator< (const Edge &W)const {
return w < W.w;
}
} edges[M];
// 并查集核心操作
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int kruskal() {
sort(edges, edges + m);
// 初始化并查集
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i < m; i ++ ) {
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
a = find(a), b = find(b);
// 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
if (a != b) {
p[a] = b;
res += w;
cnt ++ ;
}
}
if (cnt < n - 1) return INF;
return res;
}
染色法判别二分图
时间复杂度是 \(O(n+m)\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
// n表示点数
int n;
// 邻接表存储图
int h[N], e[M], ne[M], idx;
// 表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色
int color[N];
// 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色
bool dfs(int u, int c) {
color[u] = c;
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (color[j] == -1) {
if (!dfs(j, !c)) return false;
}
else if (color[j] == c) return false;
}
return true;
}
bool check() {
memset(color, -1, sizeof color);
bool flag = true;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (color[i] == -1)
if (!dfs(i, 0)) {
flag = false;
break;
}
return flag;
}
匈牙利算法
时间复杂度是 \(O(nm)\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
// n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int n1, n2;
// 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，
// 所以这里只用存一个方向的边
int h[N], e[M], ne[M], idx;
// 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
int match[N];
// 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过
bool st[N];
bool find(int x) {
for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (!st[j]) {
st[j] = true;
if (match[j] == 0 || find(match[j])) {
match[j] = x;
return true;
}
}
}
return false;
}
// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ ) {
memset(st, false, sizeof st);
if (find(i)) res ++ ;
}
数学知识
试除法判定质数
bool is_prime(int x) {
if (x < 2) return false;
for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
if (x % i == 0)
return false;
return true;
}
试除法分解质因数
void divide(int x) {
for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
if (x % i == 0) {
int s = 0;
while (x % i == 0) x /= i, s++;
cout << i << ' ' << s << endl;
}
if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;
cout << endl;
}
朴素筛法求素数
// primes[]存储所有素数
int primes[N], cnt;
// st[x]存储x是否被筛掉
bool st[N];
void get_primes(int n) {
for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
if (st[i]) continue;
primes[cnt++] = i;
for (int j = i + i; j <= n; j += i)
st[j] = true;
}
}
线性筛法求素数
// primes[]存储所有素数
int primes[N], cnt;
// st[x]存储x是否被筛掉
bool st[N];
void get_primes(int n) {
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
试除法求所有约数
vector<int> get_divisors(int x) {
vector<int> res;
for (int i = 1; i <= x / i; i++)
if (x % i == 0) {
res.push_back(i);
if (i != x / i) res.push_back(x / i);
}
sort(res.begin(), res.end());
return res;
}
约数个数和约数之和
如果 \(N = {p_1}^{c_1} {p_2}^{c_2} \cdots {p_k}^{c_k}\)
约数个数： \((c_1 + 1) (c_2 + 1) \cdots (c_k + 1)\)
约数之和： \(({p_1}^0 + {p_1}^1 + \cdots + {p_1}^{c_1}) \cdots ({p_k}^0 + {p_k}^1 + \cdots + {p_k}^{c_k})\)
欧几里得算法
int gcd(int a, int b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
求欧拉函数
int phi(int x) {
int res = x;
for (int i = 2; i <= x / i; i++)
if (x % i == 0) {
res = res / i * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i;
}
if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}
筛法求欧拉函数
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
int euler[N]; // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
void get_eulers(int n) {
euler[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
if (!st[i]) {
primes[cnt ++ ] = i;
euler[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
int t = primes[j] * i;
st[t] = true;
if (i % primes[j] == 0) {
euler[t] = euler[i] * primes[j];
break;
}
euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
}
}
}
快速幂
求 \(m^k\ \%\ p\)，时间复杂度 \(O(logk)\)
int qmi(int m, int k, int p) {
int res = 1 % p, t = m;
while (k) {
if (k & 1) res = res * t % p;
t = t * t % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
扩展欧几里得算法
求 \(x, y\)，使得 \(ax + by = gcd(a, b)\)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (!b) {
x = 1; y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a / b) * x;
return d;
}
高斯消元
// a[N][N]是增广矩阵
int gauss() {
int c, r;
for (c = 0, r = 0; c < n; c++) {
int t = r;
// 找到绝对值最大的行
for (int i = r; i < n; i++)
if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
t = i;
if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
// 将绝对值最大的行换到最顶端
for (int i = c; i <= n; i++) swap(a[t][i], a[r][i]);
// 将当前行的首位变成1
for (int i = n; i >= c; i--) a[r][i] /= a[r][c];
// 用当前行将下面所有的列消成0
for (int i = r + 1; i < n; i ++ )
if (fabs(a[i][c]) > eps)
for (int j = n; j >= c; j--)
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
r++;
}
if (r < n) {
for (int i = r; i < n; i++)
if (fabs(a[i][n]) > eps)
return 2; // 无解
return 1; // 有无穷多组解
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
for (int j = i + 1; j < n; j++)
a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
return 0; // 有唯一解
}
递归法求组合数
\(c[a][b]\) 表示从 \(a\) 个苹果中选 \(b\) 个的方案数
for (int i = 0; i < N; i++)
for (int j = 0; j <= i; j++)
if (!j) c[i][j] = 1;
else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
通过预处理逆元的方式求组合数
首先预处理出所有阶乘取模的余数 \(fact[N]\)，以及所有阶乘取模的逆元 \(infact[N]\) 如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元
// 快速幂模板
int qmi(int a, int k, int p) {
int res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i++) {
fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}
Lucas定理
若 \(p\) 是质数，则对于任意整数 \(1 \le m \le n\)，有：
\(C_n^m = C_{n \ \%\ p}^{m \ \%\ p}\ C_{\frac{n}{p}}^{\frac{m}{p}} \ \% \ p\)
// 快速幂模板
int qmi(int a, int k, int p) {
int res = 1 % p;
while (k) {
if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
// 通过定理求组合数C(a, b)
int C(int a, int b, int p) {
if (a < b) return 0;
// x是分子，y是分母
LL x = 1, y = 1;
for (int i = a, j = 1; j <= b; i--, j++) {
x = (LL)x * i % p;
y = (LL) y * j % p;
}
return x * (LL)qmi(y, p - 2, p) % p;
}
int lucas(LL a, LL b, int p) {
if (a < p && b < p) return C(a, b, p);
return (LL)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}
分解质因数法求组合数
当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：
-
筛法求出范围内的所有质数
-
通过 \(C_a^b = \frac{a!}{b! (a - b)!}\) 这个公式求出每个质因子的次数。 \(n!\) 中 \(p\) 的次数是 \(\frac{n}{p} + \frac{n}{p^2} + \frac{n}{p^3} + \cdots\)
-
用高精度乘法将所有质因子相乘
int primes[N], cnt; // 存储所有质数
int sum[N]; // 存储每个质数的次数
bool st[N]; // 存储每个数是否已被筛掉
void get_primes(int n) { // 线性筛法求素数
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
int get(int n, int p) { // 求n！中的次数
int res = 0;
while (n) {
res += n / p;
n /= p;
}
return res;
}
// 高精度乘低精度模板
vector<int> mul(vector<int> a, int b) {
vector<int> c;
int t = 0;
for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
t += a[i] * b;
c.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (t) {
c.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
return c;
}
// 预处理范围内的所有质数
get_primes(a);
// 求每个质因数的次数
for (int i = 0; i < cnt; i++) {
int p = primes[i];
sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
}
vector<int> res;
res.push_back(1);
// 用高精度乘法将所有质因子相乘
for (int i = 0; i < cnt; i++)
for (int j = 0; j < sum[i]; j++)
res = mul(res, primes[i]);
卡特兰数
给定 \(n\) 个 \(0\) 和 \(n\) 个 \(1\)，它们按照某种顺序排成长度为 \(2n\) 的序列，满足任意前缀中 \(0\) 的个数都不少于 \(1\) 的个数的序列的数量为：\(Catalan(n) = \frac{C_{2n}^{n}}{n + 1}\)
NIM游戏
给定 \(N\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。
我们把这种游戏称为 \(NIM\) 博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。 所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。 \(NIM\) 博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。
定理： \(NIM\) 博弈先手必胜，当且仅当 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots \oplus A_n \neq 0\)
公平组合游戏 ICG
若一个游戏满足：
- 由两名玩家交替行动
- 在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关
- 不能行动的玩家判负
则称该游戏为一个公平组合游戏。
\(NIM\) 博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件 \(2\) 和条件 \(3\)。
有向图游戏
给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。
SG 函数
在有向图游戏中，对于每个节点 \(x\)，设从 \(x\) 出发共有 \(k\) 条有向边，分别到达节点 \(y_1, y_2, \cdots, y_k\)，定义 \(SG(x)\) 为 \(x\) 的后继节点 \(y_1, y_2, …, y_k\) 的 \(SG\) 函数值构成的集合再执行 \(mex(S)\) 运算的结果，即：
\(SG(x) = mex(\{SG(y_11), SG(y_2), \cdots, SG(y_k)\})\)
特别地，整个有向图游戏 \(G\) 的 \(SG\) 函数值被定义为有向图游戏起点 \(s\) 的 \(SG\) 函数值，即 \(SG(G) = SG(s)\)
有向图游戏的和
设 \(G_1, G_2, \cdots, G_m\) 是 \(m\) 个有向图游戏。定义有向图游戏 \(G\)，它的行动规则是任选某个有向图游戏 \(G_i\)，并在 \(G_i\) 上行动一步。\(G\) 被称为有向图游戏 \(G_1, G_2, \cdots, G_m\) 的和。
有向图游戏的和的 \(SG\) 函数值等于它包含的各个子游戏 \(SG\) 函数值的异或和，即：
\(SG(G) = SG(G_1) \oplus SG(G_2) \oplus \cdots \oplus SG(G_m)\)
定理
有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的 \(SG\) 函数值大于 \(0\)
有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的 \(SG\) 函数值等于 \(0\)
最后更新: 2021-09-16